Тема 5. Лінійні рівняння з однією змінною.

 

Розв'язування задач за допомогою рівняннь.

1.Будь-яку задачу можна розв'язати за діями, але простіше скласти рівняння (більш зрозумілим буде розв'язання);

2. розв'язування задачі починається з того, що з'ясовують, які числа невідомі, і вибирають, яке з них (зазвичай це найменше з невідомих) по­значити буквою (цьому етапу в поясненнях відповідає перше речення: «Нехай х...»);
3. після вибору й позначення невідомого використовують умову задачі (співвідношення між невідомими та відомими величинами), щоб скласти рівняння (цьому етапу в поясненні до розв'язування задачі відповідає текст, що починається зі слів: «Тоді...» і закінчується «...маємо рівняння»);
4.розв'язання рівняння є лише одним з кількох етапів розв'язання задачі (і на цьому також слід акцентувати учнів), причому розв'язанням рівняння не закінчується розв'язання задачі;
5. останньою частиною розв'язання задачі за допомогою рівняння є пояснення (інтерпретація) знайдених у ході розв'язування рівняння чисел (частина тексту, що починається зі слів: «Отже,...»).
Наприклад:

Нехай у другій цистерні х т бензину (І), тоді в першій — 1,2х т. Удвох цистернах разом (х + 1,2х) т бензину, що за умовою дорівнює 66 т. Маємо рівняння: х + 1,2х = 66, (II) 2,2х = 66, (III) х = 66 : 2,2, х = 30. Отже, у другій цистерні було 30 т бензи­ну, а в першій 1,2 · 30 = 36 (т). (IV) Відповідь. 36 т; 30 т.

І. Невідоме позначаємо буквою. II. Використовуючи умову задачі, складаємо рівняння. III. Розв'язуємо рівняння. IV. Пояснення (інтерпретація знайде­них коренів відповідно до умови задачі)

Лінійне рівняння з однією змінною.

Поняття рівняння. Розв'язування рівнянь.

Рівняння- рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою. Невідоме число називають змінною.

Наприклад: .

Вираз, записаний у рівнянні ліворуч від знака рівності, називають лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч, - правою частиною рівняння.

Число, яке задовольняє рівняння, називається коренем, або розв'язком рівняння. Якщо у рівнянні   замість змінної  підставити 3, то отримаємо  - правильну числову рівність.

Рівняння можуть мати різну кількість коренів. Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені  або довести, що їх немає.

Якщо рівняння мають одні й ті самі корені, то вони називаються рівносильними. Рівносильними вважають і ті рівняння, які не мають коренів.

 

Під час розв'язування рівняння використовують такі властивості:

1. якщо у будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;
2. якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;
3. якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля, число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

 

Лінійне рівняння.

Рівняння виду , де  і  - деякі числа,  - змінна, називається лінійним рівняння з однією змінною.

Можливі такі розв'язки лінійного рівняння:

 

	- будь яке число	Рівняння не має коренів

 

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння:

1)  Розв'язання:  1)

2)    2)  - будь-яке число

3)    3)   Рівняння коренів не має

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

                             .

1) Розкриємо дужки:

                             .

2) Перенесемо доданки, що містять змінну , у ліву частину, а інші - в праву, змінивши знаки на протилежні:

                             .

3) Зведемо подібні доданки:

                             .

4) Розв'яжемо отримане лінійне рівняння:

                              

Відповідь. -7,5.