А 9 Тема 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

 Геометрична прогресія.

АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ

Сьогодні ви ознайомитеся з поняттям арифметичної прогресії та її властивостями; формулою n – го члена та навчитеся застосовувати її до розв’язування задач.

Перегляньте відео.

Означення арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж число.

Це число називається різницею арифметичної прогресії і позначається d (d – початкова буква латинського слова differentia – різниця )

Тоді арифметичну прогресію можна задати рекурентною формулою:

а_n+1 = a_n + d, звідки d = a_n+1 - a_n

Приклад 1: 1; 4; 10; 13; 16; 19; 22; …

У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число 3, тобто d = 3.

Приклад 2: -2; -4; -6; -8; -10;…

У цій послідовності кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається число -2, тобто d = -2.

Формула n – го члена арифметичної прогресії

Нехай перший член арифметичної прогресії а₁, d – різниця. Тоді за означенням арифметичної прогресії :

а₂ = а₁ + d;

а₃ = а₂ + d = ( а₁ + d ) + d = а₁ + 2d;

а₄ = а₃ + d = ( а₁ + 2d ) + d = а₁ + 3d;

а₅ = а₄ + d = ( а₁ + 3d ) + d = а₁ + 4d.

Помічаємо, що у цих формулах коефіцієнт при d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії. Отже можна записати:

а_n = а₁ + ( n -1 ) d - формула n – го члена арифметичної прогресії.

Застосування формули n – го члена для знаходження довільного її члена

Приклад: Знайти дев′ятий член арифметичної прогресії ( а_n ): 5; 4,2; 3,4; …

Розв’язання:

Маємо: а₁ = 5. Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 – 5 = - 0,8. Тоді

а₉ = а₁ +8d, а₉ = 5 + ( - 0,8 ) ∙ 8 = - 1,4.

Застосування формули n – го члена для знаходження її першого члена

Приклад: Знайти перший член арифметичної прогресії ( а_n ), у якій d = - 2, а₈ = 93.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 8:

а₈ = а₁ + 7d і підставимо відомі значення: 93 = а₁ + 7 ∙ ( – 2 ),

93 = а₁ – 14,

а₁ = 93 + 14,

а₁ = 107.

Застосування формули n – го члена для знаходження різниці арифметичної прогресії

Приклад: Знайти різницю арифметичної прогресії ( а_n ), у якій а₁ = 10, а₅ = 22.

Розв’язання:

Застосуємо формулу n – го члена арифметичної прогресії для n = 5:

а₅ = а₁ + d( n – 1 ) і підставимо відомі значення: 22 = 10 + d ∙ 4,

4d = 22 – 10,

4d = 12,

d = 3.

ВИКОНАЙТЕ САМОСТІЙНО:

Завдання 1: Знайти вісімнадцятий член арифметичної прогресії: 1; 1,3; 1,6;…

Завдання 2: Знайти перший член арифметичної прогресії, якщо її різниця дорівнює 0,5, а дев’ятий член 3.

Завдання 3: Знайти різницю арифметичної прогресії ( а_n ), у якій а₁ = 28, а₁₅ = - 21.